ズバッと解決(快傑ズバット)

チョイス

 

ご存じの方も多いと思いますが、知らない方は純粋に問題をお楽しみください。

この問題は、を知っても尚、腑に落ちない事で有名です。

私も長い間理解できませんでした。

 

問題も解答も知っているけど理屈はさっぱり解らなかった。

という方も、今回の解決法が参考になればと思います。

 

まずは問題から。

モンティ・ホール問題

あなたはクイズ番組に出演しています。
回答者はあなたひとりだけです。

(1) 3つのドアの内、ひとつがアタリである
(2) あなたはドアを1つ選ぶ
(3) 司会者は、あなたが選ばなかった2つのドアの内、ひとつのドアを開けて見せる
(4) (3)で開かれるのは必ずハズレのドアである(司会者はアタリを知っているので必ずハズレドアを開ける事が可能)
(5) 司会者はあなたにドアを選び直して良いと告げる

 

ドアは選び直した方が良いのだろうか?

 

問題自体を勘違いしていてはいけませんので、くどいようですが念の為、例を挙げて説明します。

 

1)3つのドアから、ひとつを選ぶ

ここでは例としてAを選択しています。

右端の人物は司会者です。。

モンティ・ホール問題1

 

 

2)司会者が、残り2つの内、ハズレのドアを一つ開ける。

ここでは、Bが開けられハズレである事が示されました。

モンティ・ホール問題2

 

 

3)司会者は「Cに変えても良いですよ」とあなたに話を持ちかけます。

 

モンティ・ホール問題3

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あなたならどうしますか?

またその理由はなぜですか?

 

初めて知る人にとって、この答えはかなりショッキングに感じます。

 

 

下の答えが書いてあります。の部分をドラッグして選択すると回答が見えます。
(ここ↑で試してみてください)

思考を楽しみたい方は、自分のタイミングで見てください。

 

答え)Cに変えた方が得理由は、当たる確率が二倍になるから。

 

 

 

以下解説を述べていきますので、これから先は解答バレになります。

下にスクロールすると、内容を列挙していますのでご注意ください。

 

 

争点・論点

 

※ここから先は、答えを含みますので、ご注意ください。

 

直感的な考えでは「変えても変えなくても結果は同じ(確率)」

と思うのが普通だと思います。

 

ギャンブラーの誤謬(※)よろしく、ドアを選択し直す行為は「当たりやすい気がするだけ」の行為で、数学的根拠がない、と考えるからです。

(※)ギャンブラーの誤謬(ごびゅう)

例:コイントス(確率1/2)で、表ばかりが10回連続したような場合に、次の回に裏が出る確率が上がっていると錯覚する事。心理的思い込み。

真にランダムなコイントスの場合、前回の当選結果は今回の当選結果に何ら影響を及ぼさない。

従って確率は常に1/2で、変動しない。

ナンバーズやロトの、独立抽選方式と同じで、前回と今回の抽選結果に因果関係はない。

大数の法則を持ち出して説明する人もいるが、「次の一回」で計れるものではないので、これも間違い。

※テクニカル分析では、サイコロジカルなどのオシレーター系の考えに似ていますが、オシレーター系の根拠を否定するものではありません。

 

 

AもCも確率は1/3なのに、なぜBが開示された後にCの確率だけが二倍になるのでしょうか??

シンプルでありがちなゲーム内容だけに、この解を納得できないからといって自分を責めてはいけません。

 

博士号を持つプロ数学者が束になって腑に落ちないのがこのモンティ・ホール問題です。

明からな解が提示されているにも関わらず、多くの数学者がこれを認められず論争が続きました。

 

争点となったのは、

・(司会者の行為によって)確率は変わるのか

・確率の問題か?駆け引きの問題か?(心理的な問題か

などです。

 

一般的解説

問題の初めでは、当たりのドアを選ぶ確率は1/3です。

 

次に司会者が、ハズレの扉をひとつ開けた事で、閉じている扉は2つになります。

ここでは事後確率が成り立ち、選択肢が二つになったのでアタリ確率も1/2と考える事ができます。

 

始めにAを選んだ時のアタリ確率1/3と、現在の1/2とでは、

1/2の方が確率が上がっているので変更した方が得。

と言う解説もありますが、正式な解は違います。

 

 

一般的良解説

司会者に変更を打診された時点(最後の段階)のアタリ確率は

上の扉の画の例で言うなら、Aが1/2、Cが2/3となり、変更した方が2倍当たる確率が高くなります。

 
1)最初の段階

A=1/3 ,B=1/3 ,C=1/3

この時点では全て等しい。

 

これは、

A=1/3 , B+C=2/3

と考える事ができる。

※BとCをひとまとまりと考える

 

2)Bのハズレが確定したので

A=1/3 , C=2/3

となり、Cの確率が上がる。

つまり、消失したBの確率がCに上乗せされるので、Cの確率が高くなる。

 

一休さんかよ

解ったような、煙にまかれたような・・・。

私はこの(小学生の分数レベル!?)話を聞いても良く解らなかったのですが、まあ、お歴々の方々が論争している内容なので理解できなくても恥じない事にしました。

 

その後、紅茶を入れ、空を眺め、「こんなの理解できなくても生きていけるさ」と、自らを肯定しました。

そして考えるのを止めました(笑

 

しかし、しばらくモヤモヤした結果、次のように解決しました。

バカなりの解決法、人呼んで、ザ・総当たりです。

 

私の解説

Ⅰ)ザ・総当たり

 

車とヤギの関係.png

 

理屈は良く解らなくとも、全てのケースを列挙すると、逃れ様のない現実を目の当たりにしました。

如実に「ドアを変更した場合」のアタリが多い事が解ります。

2倍お得、という事が明かになりました。

 

 

このように表で示すと一目瞭然なのに、理屈をうまく説明できないのはなんとも不思議です(汗

しかし、自分の感覚など充てにせず目の前の事実を受け入れるべきでしょう。

「表作成」の問題ですから、小学2年生くらいの分野でしょうか(汗(汗

 

ここで真顔で伝えたいのは、無学なオッサンが数学(算数)を使わずに太刀打ちする術もあるという事です。

 

 

Ⅱ)これでも良く解らなければ次の様な考え方もできます

 

あ)初めに選んだドアがアタリの場合 ⇒ ドアを変更するとハズレ

い)初めに選んだドアがハズレの場合 ⇒ ドアを変更すると当たる

 

 

初めに選ぶ時点のアタリ確率は1/3です。

 

つまり、初めに選んだドアは2/3の確率でハズレます。

これは(い)に該当するので、変更すると当たる、という事になります。

そして、(い)の確率は2/3というのも解ります。

 

(あ)の1/3に対して、勝率は2倍になります。

 

ズバッと、解っていただけでしょうか?

(ズバッと参上ズバッと解決。解る人だけ。)

 

考え方のコツ

選択肢(ドア)は3つですが、結果は常に2種類(アタリorハズレ)です。

選択肢は無限に増やすことができますが、結果はやはり2つです。

 

多くの情報に惑わされず、最小単位の”結果”を軸に考える事で、シンプルにまとめることができると思います。

情報がありすぎて困る時は、書き出してまとめます。

 

(Ⅰ)は、あらゆるケース列挙した後、要点を絞り込む「負け癖(弱点)強制シート」的な考え

(Ⅱ)は、最小単位の本質に絞り込む「Rの法則」的な考え

です。

 

聞いて知る答え(知識)も勿論大事ですが、答えに辿り着く発想(知恵)も大事です。

後者が身に付けば、今後はもっとラクになる筈だからです。

パニック


私がこの問題を知ったのは2008年頃の映画「ラスベガスをぶっつぶせ」のワンシーンでしたが、アメリカではもっと前から有名なようです。
(※天才数学者チームがブラックジャックの必勝法を編み出しカジノで荒稼ぎする実話を元にした映画)

 

実際の問題は、アタリ=車、ハズレ=ヤギ、として、司会者のモンティが回答者に話しかけるアメリカのテレビ番組が元になっています。
(私の場合、「なぜヤギなんだ?」と、変なところに意識が持っていかれて問題が入ってこなかったので、本記事ではアタリ/ハズレと表現しました;)

今は日本語の解説サイトも増えてますので、興味があれば研究してみてください。

他にも、面白い解説があると思います。

 

 

いつもはこの後、投資やメンタル、考え方にシンクロして説明するところですが、

今回はこの問題を素直に味わいましょう。

 

たまには頭の体操も良いんではないでしょうか。

 

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございます。




 

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